Главная редакция - страница 7

Главная редакция - страница 7

10. Мы перебегаем к Пьеру Симону Лапласу, последнему из ведущих математиков восемнадцатого века. Отпрыск умеренного землевладельца в Нормандии, он обучался в Бомоне и Кане, при помощи Даламбера стал доктором арифметики военной школы в Париже. Он Главная редакция - страница 7 занимал и несколько других преподавательских и административных должностей, во время революции учавствовал в организации как Обычной, так и Политехнической школы. Наполеон удостоил его многих почестей, но то же делал и Людовик XVIII Главная редакция - страница 7. В противоположность Монжу и Карно Лаплас просто менял свои политические привязанности, и при всем том в нем было кое-что от сноба. Вобщем, такая неустойчивость позволила ему продолжать свою чисто математическую деятельность Главная редакция - страница 7 при всех политических конфигурациях во Франции.

2-мя большенными трудами Лапласа, в каких дана сводка не только лишь его исследовательских работ, да и всех прошлых работ в соответственных областях, являются «Аналитическая Главная редакция - страница 7 теория вероятностей» (Theorie analytique des probabilites, 1812 г.) и «Небесная механика» (Mecanique celeste, 1799—1825гг., в 5 томах). Обоим монументальным произведениям сопутствовали развернутые пользующиеся популярностью из


1) Типично слово «алгебраический» заместо «аналитический».

л


Пьер Симон Лаплас

(1749—1827)
ожения «Философский опыт относительно вероятностей Главная редакция - страница 7» (Essai philosophique sur les probabilifes, 1814 г.) и Изложение системы мира» (Exposition du systeme du monde, 1796г.). Это «Изложение» содержит догадку о происхождении галлактики из туманности, предложенную до того Кантом в Главная редакция - страница 7 1755г. (и даже ранее Канта Сведенборгом в 1734г.). «Небесная механика» является окончанием трудов Ньютона, Клеро, Даламбера, Эйлера, Лаграижа и Лапласа по теории фигуры Земли, теории Луны, по задачке 3-х тел и теории возмущений планет Главная редакция - страница 7, включая основную делему об стойкости галлактики. Термин «уравнение Лапласа» припоминает нам о том, что одной из частей «Небесной механики» является теория потенциала.



(Само это уравнение было найдено Эйлером в 1752г Главная редакция - страница 7. при выводе неких главных уравнений гидродинамики.) С этими пятью томами связано много анекдотов. Отлично известен предполагаемый ответ Лапласа Наполеону, который попробовал упрекнуть его, заявив, что в его книжке нет упоминаний о боге: «Государь Главная редакция - страница 7, я не нуждался в этой гипотезе». А Натаниел Боудич из Бостона, который перевел четыре тома труда Лапласа на британский язык, как-то произнес: «Всегда, когда я встречал у Лапласа заявление „Итак, просто созидать Главная редакция - страница 7...", я был уверен, что мне потребуются часы напряженной работы, пока я заполню пробел, догадаюсь и покажу, как это просто видеть». Математическая карьера Гамильтона началась с того, что он отыскал Главная редакция - страница 7 ошибку в «Небесной механике» Лапласа. Грин пришел к мысли о математической теории электричества при чтении Лапласа.

«Философский опыт относительно вероятностей»— это просто читающееся введение в теорию вероятностей. Оно содержит лапласово «отрицательное» определение вероятности при помощи Главная редакция - страница 7 «равновероятных событий»:

«Теория вероятностей состоит в сведении всех событий 1-го и такого же рода к некому числу равновероятных случаев, т. е. случаев, относительно существования которых мы в равной мере не Главная редакция - страница 7 ознакомлены, и в определении числа тех случаев, которые благоприятны для действия, возможность которого мы ищем».

Вопросы, касающиеся вероятностей, согласно Лапласу появляются поэтому, что мы отчасти ознакомлены, отчасти нет. Это привело Лапласа к его Главная редакция - страница 7 известному утверждению, в каком воплощено то, как восемнадцатое столетие понимало механистический материализм:

«Ум, который знал бы все действующие на этот момент силы природы, также относительное положение всех составляющих ее частиц и который был Главная редакция - страница 7 бы довольно широк, чтоб все эти данные подвергнуть математическому анализу, сумел бы окутать единой формулой движение как величайших тол вселенной, так и ее легчайших атомов; для него не было бы ничего Главная редакция - страница 7 неопределенного, он идиентично ясно лицезрел бы и будущее, и прошедшее. То совершенство, какое человечий разум был в состоянии придать астрономии, дает только слабенькое представление о таком уме».

Трактат «Аналитическая теория вероятностей» так богат Главная редакция - страница 7 содержанием, что многие позднейшие открытия теории вероятностей можно найти у Лапласа1). В этом впечатляющем томе тщательно рассмотрены азартные игры, геометрические вероятности, аксиома Берпулли и ее связь с интегралом обычного рассредотачивания Главная редакция - страница 7, теория меньших квадратов, придуманная Лежапдром. Руководящей идеей является применение «производящих функций»; Лаплас показал значение этого способа для решения разностных уравнений. Тут вводится «преобразование Лапласа», которые позднее стало основой операционного исчисления Хевисайда. Лаплас Главная редакция - страница 7 также выручил от забвенья и поновой определил ту теорию, рисунок которой отдал Томас Байес, не много узнаваемый британский священник, работы которого были размещены посмертно


') М о 1 i n а Е. С. The Theory Главная редакция - страница 7 of Probability: some commenis on Laplace's «Theorie analytique» / Bull. Araer. Malh. Soo.— 1,130.— V. 36.

в


Жан Этьен Монтюкла

(1725—1799)
1763—1764гг. Эта теория стала известна как теория вероятностей a posteriori.

11. Интересно то событие, что к концу века Главная редакция - страница 7 некие ведущие арифметики высказывались в том смысле, что область математических исследовательских работ вроде бы истощена. Труды и усилия Эйлера, Лагранжа, Даламбера и других уже дали более принципиальные аксиомы, эти результаты Главная редакция - страница 7 в должном оформлении изложены либо в скором времени будут изложены в традиционных трактатах, и малочисленные арифметики последующего поколения должны будут решать только задачки наименьшего значения. «Не кажется ли Вам, что высшая геометрия близится частично Главная редакция - страница 7 к упадку,— писал Лагранж Даламберу в 1772 г., — ее поддерживаете только Вы и Эйлер»1). Лагранж даже на некое время закончил занятия арифметикой. Даламбер в ответ не достаточно чем мог обнадежить. Араго Главная редакция - страница 7 в собственной «Похвальной речи о Лапласе» (1842г.) позднее высказал идея, которая поможет нам осознать эти чувства:

«Пять геометров, Клеро, Эйлер, Даламбер, Лагранж и Лаплас, разделили меж собою тот мир, существование которого открыл Главная редакция - страница 7 Ньютон. Они изучили его во всех направлениях, просочились в области, которые числились труднодоступными, указали огромное количество явлений в этих областях, которые еще не были открыты наблюдением, и, в конце концов,— в этом Главная редакция - страница 7 их нескончаемая слава — они окутали при помощи 1-го принципа, 1-го единственного закона самые тонкие и загадочные явления в движении небесных тел. Таким макаром геометрия осмелилась распоряжаться будущим, и ход будущих веков только подтвердит во Главная редакция - страница 7 всех подробностях заключения науки».


') Под геометрией в восемнадцатом веке во Франции поиимали арифметику вообщем,

Сладкоречивый Араго показывает на основной источник пессимизма конца века, конкретно, на тенденцию отождествлять прогресс арифметики с прогрессом Главная редакция - страница 7 механики и астрономии. Со времен старого Вавилона до времен Эйлера и Лапласа астрономия была руководящей и вдохновляющей силой самых восхитительных математических открытий, и сейчас казалось, что этот процесс достигнул собственной кульминации. Но Главная редакция - страница 7 новое поколение, вдохновленное новыми перспективами, открытыми французской революцией и расцветом естествознания, должно было показать, как необоснован этот пессимизм. Новый мощнейший импульс только отчасти был дан во Франции; как нередко бывало в истории цивилизации Главная редакция - страница 7, он шел также и с периферии политических и экономических центров, в этом случае из Гёттингена, от Гаусса.

ЛИТЕРАТУРА

Полные собрания сочинений Лагранжа и Лапласа изданы во 2-ой половине девятнадцатого века Главная редакция - страница 7, издание полного собрания сочинений Эйлера близится к окончанию. Ряд томов Эйлера вышел с необъятными введениями. Собрание сочинений Якоба Бернулли (1844 г., в 2-ух томах) и Иоганна Бернулли (1742 г., в 4 томах) не переиздавались. На Главная редакция - страница 7 российском языке изданы последующие произведения классиков восемнадцатого столетия:

^ Б е р н у л л и. Иогапи. Избранные сочинения по механике/Под ред. и с примечаниями В. П. Егоршина.— М.; Л.: ОНТИ, 1937. Б е Главная редакция - страница 7 р н у л л п, Якоб. 4-ая часть Ars conjeclaudi/Перевод Я. В. Успенского.— СПб., 1913. К л е р о А. Теория фигуры Земли/Ред., комменты и статья Н, И. Идельсопа Главная редакция - страница 7.—Ы.; Л., 1947. Д а л а м б е р Ж. Динамика/Примечания В. П. Егоршина.— М.; Л.: Гостехиздат, 1950. Эйлер Л. Введение в анализ безграничных. Т. I.—Изд. 1е/ Под Главная редакция - страница 7 ред., с примечаниями ц вступительной статьей С. Я. Лурье.— М.; Л.: ОНТИ, 1936. Изд. 2е/Под ред. И. Б. Погребысского, вступительная статья А. Шпайзера,— М.: Физматгиз, 1961. Т. П/Ред., примечания п вступительная статья Главная редакция - страница 7 И. Б. Погребысского.—М: Физмапиз, 1961.

Эйлер Л. Дифференциальное исчисление/Примечания и вступительная статья М. Я. Выгодского.—М.; Л.: Гостохиздат, 1949.

Эйлер Л. Интегральное исчисление. Т. I/Ред., вступление и примечания М, Я. Выгодского.— М.: Гостехпздат Главная редакция - страница 7, 1956. Т. П/Продисловпе и примечания И. Б. Погребысского.— М.: Гостехиздат, 1957. Т. III/Комментарип Ф. И. Фрппкля.— М.: Физматгиз. 1958.

Эйлер Л. Способ нахождения кривых линий, владеющих качествами максимума, или минимума.— Ред. и вступительная статья Главная редакция - страница 7 Н. С. Кошлякова.— М.; Л.: ГТТИ, 1934.

В книжку: Эйлер Л. Базы динамики точки/Ред., вступление и примечания В. П. Егоршипа.— М.; Л.: ГОНТИ, 1938, вошли главы из «Механики» и «Теории движения жестких Главная редакция - страница 7 тел» Л. Эйлера.

«Полное введение в алгебру» Л. Эйлера в первый раз было издано на российском языке, в переводе И. Иноходцева и И. Юдина,'под заглавием «Универсальная арифметика» (изд. 1е, т Главная редакция - страница 7. I.— СПб., 1768; т. П.—СПб., 1769).

«Письма к германской принцессе» тоже имеются в российском переводе восемнадцатого века (ученика Эйлера, астролога С. Я. Румовского), изд. 1е, тт. I—III.—СПб., 1768—1774.

Эйлер Л. Избранные картографические статьи/Ред Главная редакция - страница 7. и вступительная статья Г. В. Багратуни.— М.; Л., 1958.

Эйлер Л. Работа по баллистике.— М., 1959.

Эйлер И. Исследования по баллистике/Ред. и вступление Б. Н. Окунева.— М.: Физматгиз, 1961.

Лагранж Ж. Л Главная редакция - страница 7. Аналитическая механика. Т. I/Под ред. и с примечаниями Л. Г. Лойцянского и А. И. Лурье.— М.; Л.: Гостехиздат, 1950. Т. П/Под ред. и с примечаниями Г. Н. Дубинина.— М.; Л Главная редакция - страница 7.: Гостехиздат, 1950.

Работы Лапласа «Изложение системы мира» и «Опыт философии теории вероятностей» имеются в старенькых переводах (1861 г. и 1908 г. соответственно).

К а р н о Л. Размышления о метафизике вычисления нескончаемо малых/Ред. и вступительная статья Главная редакция - страница 7 А. П. Юшкевича.— М.; Л.: ОНТИ, 1936.

Bernoulli, Johann. Briefwechsel, I.— Basel, 1955.

Lambert J. H. Opera matliematica, I/Вступление А. Шпайзера.— Zurich, 1946.

Cajori F. A History of the Conception of Limits Главная редакция - страница 7 and Fluxions in Great Britain from Newton to Woodhouse.—Chicago, 1931.

Jourdain P. Е. В. The Principle of Least Action.— Chicago, 1913.

Du Pasquier L. G. Leonard Euler et ses amis.— Paris, 1927.

Andoyer Главная редакция - страница 7 H. L'oeuvre scientifique de Laplace.— Paris, 1922.

L о r i a G. Nel secondo centenario della nascita di G. L. Lagran

f3 II Isis.— 1938.— V. 28,— P. 366—375 (с широкой библиограией).

A u с h Главная редакция - страница 7 t e r H. Brook Taylor, der Mathematiker und Philosoph.— Marburg, 1937.

В этой книжке, на основании рукописей Лейбница, указывается что ряд Тейлора был известен Лейбницу с 1694 г.

Green Н. G., Winter Н. J Главная редакция - страница 7. J. John Landen, F. R. S. (1719— 1790), Mathematician / Isis.— 1944.—V. 35.— P. 6—10.

В а у е s Th. Facsimile of two papers/With commentaires by E. C. Molina and W. E. Deming.—Washington Главная редакция - страница 7 (D. C.), 1940.

Pearson K. Laplace / Biometrica.—1929.—V. 21.—P. 202— 216.

Truesdell C. Notes on the history of the general equations of hydrodynamics / Amer. Math. Monthly.— 1953.— V. 60.— P. 445— 448.

Vollgraf J. A. (ed.). Les oeuvres de Nicolas Главная редакция - страница 7 Struyck (1687— 1759) qui se rapportent au calcul des chances.—Amsterdam, 1912.

Об Эйлере имеется широкая новенькая литература. См.:

Леонард Эйлер (1707—1783): Сборник статей и материалов к 150летию со денька погибели,— М.: Л., 1935.

Леонард Главная редакция - страница 7 Эйлер: Сборник статей в честь 250летия со денька рождения.— М., 1958.

Leonard Euler: Sammelband.— Berlin, 1959.




Глава VIII

^ ДЕВЯТНАДЦАТОЕ СТОЛЕТИЕ


1. Французская революция и наполеоновская эра сделали только подходящие условия для предстоящего развития арифметики. На материке Европы был Главная редакция - страница 7 открыт путь для промышленной революции. Она вдохновляла к занятиям физическими науками, сделала новые публичные классы с новыми взорами на жизнь, заинтригованные в науке и в техническом образовании. В академическую жизнь ворвались демократические Главная редакция - страница 7 идеи, устаревшие формы мышления вызывали критику, школы и институты были преобразованы и обновлены.

Первоначальногоновая и различная математическая деятельность была вызвана не техническими неуввязками, поставленными новейшей индустрией. Великобритания, колыбель промышленной революции, в течение нескольких Главная редакция - страница 7 десятилетий оставалась математически бесплодной. Более всего математика развивалась во Франции и несколько позднее в Германии ,в странах, где более резко ощущался идейный разрыв с прошедшим и где произошли либо должны были Главная редакция - страница 7 произойти конструктивные преобразования, подготовившие почву для нового экономического и политического строя – капиталистического. Новые математические направления равномерно освобождались от прежней тенденции созидать конечную цель четких наук в механике и астрономии. Занятия наукой в целом становились Главная редакция - страница 7 более дальними от требований экономики либо военного дела. Сформировался спец, заинтересованный в науке ради нее самой. Связь с практикой никогда не обрывалась, но нередко она оказывалась в тени. Рост Главная редакция - страница 7 специализации сопровождался разделением на чистую и прикладную арифметику 1).


1Это различие в подходе отыскало свое традиционное выражение в замечании Якоби относительно представления Фурье, который был еще представителем утилитарного подхода восемнадцатого века: «Вер-

В девятнадцатом Главная редакция - страница 7 столетии мы уже не находим математиков при царских дворах либо аристократических салонах. Быть членами ученых академий уже не составляет их главное занятие – обычно они работают в институтах либо технических школах и являются педагогами Главная редакция - страница 7 столько же, сколько и исследователями. Бернулли, Лагранж и Лаплас преподавали только от варианта к случаю. Сейчас же ответственность педагога растет, доктора арифметики становятся воспитателями и экзаменаторами молодежи. Упрочение связей меж учеными Главная редакция - страница 7 в границах цивилизации приводит к подрыву интернационализма прошлых веков, хотя интернациональный обмен идеями длится. Латинский язык науки равномерно заменяется государственными языки. Арифметики начинают работать в обособленных областях, тогда и как Лейбница, Эйлера, Даламбера можно Главная редакция - страница 7 охарактеризовать как «математиков» (либо геометров, в том смысле, в каком это слово применяли в восемнадцатом столетии), о Коши мы говорим как об аналитике, о Кели – как об алгебраисте, о Главная редакция - страница 7 Штейнере – как о геометре (даже как о чистом геометре), а о Канторе – как об основателе теории множеств. Пришло время профессионалов по математической физике, за которыми последовали ученые в области математической статистики либо математической логики Главная редакция - страница 7. Только самая высочайшая степень даровитости позволяла преодолеть специализацию, и более массивное воздействие на математиков девятнадцатого столетия оказали труды Гаусса, Римана, Клейна, Пуанкаре.

2. На полосы раздела меж арифметикой восемнадцатого и девятнадцатого веков возвышается Главная редакция - страница 7 величавая фигура Карла Фридриха Гаусса. Он родился в 1777г. в германском городке Брауншвейге, был отпрыском поденщика. Брауншвейгский барон соизволил направить внимание на юного Гаусса-вундеркинда и позаботился об его обу Главная редакция - страница 7-


но, что государь Фурье был того представления, что конечной целью арифметики является общественная полезность и разъяснение явлений природы; но таковой философ, как он, был должен бы знать, что единственной целью науки является возвеличить человечий разум Главная редакция - страница 7, и при таком подходе вопрос о числах настолько же значителен, как и вопрос о системе мира». В письме к Лежандру (1830г.; см. Werke. – Bd 1. – S.454) Гаусс высказался за синтез Главная редакция - страница 7 обоих воззрений; он обширно использовал арифметику к астрономии, к физике, к геодезии, вкупе с тем он считал арифметику царицей наук, а теорию чисел – царицей арифметики.

чении. В 1795—1798 гг. молодой гений обучался в Гёттингене, и Главная редакция - страница 7 в 1799 г. в Хельмштедте он получил степень доктора. С 1807 г. до собственной погибели в 1855г. он без тревог и хлопот тихо работал в качестве директора астрономической обсерватории и доктора его родного института. Его Главная редакция - страница 7 относительная обособленность, владение в равной мере прикладной и незапятанной арифметикой, занятия астрономией, неоднократное внедрение латинского языка — на всем этом отпечаток восемнадцатого столетия, но в его трудах чувствуется дух новейшей эры Главная редакция - страница 7. Как и его современники Кант, Гёте, Бетховен и Гегель, он стоял в стороне от огромных политических битв, разыгрывавшихся в других странах, но в собственной области он самым энергичным образом выразил новые идеи собственного Главная редакция - страница 7 века.

Дневники Гаусса демонстрируют, что уже на семнадцатом году жизни он начал делать поразительные открытия. К примеру, в 1795г. он независимо от Эйлера отыскал закон квадратичной взаимности теории чисел. Некие из его Главная редакция - страница 7 ранешних открытий изложены в его Хельмштедтской диссертации 1799г. и в его впечатляющих «Арифметических исследованиях» (Disquisitiones arithmeticae, 1801 г.). В диссертации дано 1-ое серьезное подтверждение так именуемой «основной аксиомы алгебры», аксиомы о Главная редакция - страница 7 том, что каждое алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами имеет по последней мере один корень и, как следует, столько корней, сколько единиц в показателе его степени. Сама эта аксиома всходит к Альберу Жирару Главная редакция - страница 7, издателю трудов Стевина [«Новое открытие в алгебре» (Invention nouvelle en algebre, 1692 г.)]. Даламбер пробовал дать ее подтверждение в 1746 г. Гауссу нравилась эта аксиома и позднее он отдал еще два подтверждения, а в Главная редакция - страница 7 1846 г. опять возвратился к собственному первому подтверждению. В 3-ем подтверждении (1816г.) употребляются всеохватывающие интегралы, и это указывает, как рано Гаусс завладел теорией всеохватывающих чисел.

В «Арифметических исследованиях» собраны все заслуги предшественников Гаусса в Главная редакция - страница 7 области теории чисел, и совместно с тем теория чисел так обогащена, что опубликование этой книжки другой раз считают началом современной теории чисел. Центральное место в книжке занимает теория квадратичных форм, вычетов и сравнений 2-ой Главная редакция - страница 7 степени; высшим достижением является закон квадратичной взаимности, «золотая теорема» (theorema aurura), 1-ое полное подтверждение которой отдал Гаусс. Гаусс был увлечен этой аксиомой более, чем основной

аксиомой алгебры, и позднее опубликовал еще 5 доказательств Главная редакция - страница 7, и очередное было найдено после погибели Гаусса в его бумагах. В «Арифметических исследованиях» содержатся также результаты Гаусса о делении круга, другими словами, о корнях уравнения хп = 1. Там получена восхитительная Главная редакция - страница 7 аксиома, что при помощи только циркуля и лпнейкп можно выстроить верный семнадцатиуголъннк (более общим образом, верный тгуголъник при п = 2Р + 1, p = 2k, где п — обычное число, k = 0, 1, 2, 3,....),— необычное геометрическое обобщение в греческом духе Главная редакция - страница 7.

Гаусс заинтересовался астрономией после того, как в 1-ый денек нового столетия, 1 января 1801 г., Пиацци в Палермо открыл первую малую планетку, нареченную Церерой. Потому что удалось провести только малость наблюдений новейшей планетки, то появилась Главная редакция - страница 7 неувязка расчета орбиты планетки по малому числу наблюдений. Гаусс стопроцентно решил эту делему; при всем этом вышло уравнение восьмой степени. Когда в 1802 г. был открыт 2-ой астероид, Паллада, Гаусс заинтересовался неувязкой вековых возмущений Главная редакция - страница 7 планет. Отсюда его «Теория движения небесных тел» (Theoria motus corporum coelestium, 1809г.), его работа о протяжении случайных эллипсоидов (1813г.), его исследования о механических квадратурах (1814г.) и о вековых возмущениях (1818г.). В Главная редакция - страница 7 1812г. появилась также статья Гаусса о гипергеометрических рядах, которая отдала возможность с единой точки зрения разглядеть огромное число функций. Это было 1-ое систематическое исследование сходимости рядов.

3. После 1820г. Гаусс начал живо интересоваться геодезией Главная редакция - страница 7. Тут он вел и теоретические исследования, и необъятную работу по триангуляции. Одним из результатов было его изложение способа меньших квадратов (1821, 1823гг.), который был уже предметом исследовательских работ Лежандра (1806г.) и Лапласа. Но Главная редакция - страница 7, может быть, важнейшим достижением этого периода жизни Гаусса была теория поверхностей в «Общих исследовательских работах относительно кривых поверхностей» (Disquisitiones generales circa superficies curves, 1827 г.), где подход к вопросу резко отличается Главная редакция - страница 7 от подхода Монжа. Тут опять практические суждения, сейчас из области высшей геодезии, плотно сплетены с узким теоретическим анализом. В этой работе появилась так именуемая внутренняя геометрия поверхности, при этом криволинейные координаты Главная редакция - страница 7 употребляются, чтоб выразить линейные элементы ds

с


Карл Фридрих Гаусс

(1777—1855)
помощью квадратичной дифференциальной формы: ds2 = Edu2 + Fdudv + Gdv2. И тут есть кульминационная точка, «превосходная теорема» (theorema egregium), которая утверждает, что полная кривизна поверхности зависит только от Главная редакция - страница 7 E,F,G и их производных, как следует, инвариантна при изгибании. Но Гаусс не забывал свою первую любовь, «царицу математики», даже в период сосредоточения усилий на геодезических дилеммах, ибо в 1825 и Главная редакция - страница 7 1831гг. появились его работы по биквадратичным вычетам. Это было продолжением его теории квадратичных вычетов в «Арифметических исследованиях», но с внедрением нового способа — теории всеохватывающих чисел. В работе 1831 г. дана не только Главная редакция - страница 7 лишь алгебра всеохватывающих чисел, да и их математика. Тут возникает новенькая теория обычных чисел, в какой 3 остается обычным числом, но 5 =(1 + 2i) (1 — 2i) уже не является обычным числом. Эта новенькая теория всеохватывающих чисел разъяснила Главная редакция - страница 7 многие неясности в математике, так что квадратичный закон взаимности вышел тут проще, чем для реальных чисел. В этой работе Гаусс навечно выгнал ту загадочность, которая окружала всеохватывающие числа, введя их представление при помощи Главная редакция - страница 7 точек плоскости1).

Скульптура в Гёттингене изображает Гаусса и его младшего сотруднику, физика Вильгельма Вебера, работающими над изобретением электронного телеграфа. Это относится к 1833—1834гг., когда Гаусс начал интересоваться фи


') Ср. Веll Е Главная редакция - страница 7. Т. Gauss and The Early Development of Algebraic Numbers.—Nat. Math. Mag.—1944.—V. 18.—P. 188, 219. А. Шпаизер увидел, что уже Эйлер и другие арифметики после 1760г воспользовались схожими средствами, когда обращались к всеохватывающим числам,— см Главная редакция - страница 7. его введение в томе I, 28 «Opera Omnia» Эйлера (Zurich, 1955.—P. XXXVII). Полностью разработанную геометрическую интерпретацию всеохватывающих чисел до Гаусса дали К Вессель (1799 г.) и Ж. Арган (1806 г.).

зикой. В этот период Главная редакция - страница 7 он выполнил огромную экспериментальную работу по земному магнетизму. Но у него нашлось время и для теоретического исследования главной значимости— «Общих теорем (Allgemiene Lehrsatze...) о силах, действующих назад пропорционально квадрату расстояния» (1839, 1840 гг Главная редакция - страница 7.). Это было началом теории потенциала как отдельной ветки арифметики (работа Грина 1828г. фактически не была известна в это время) с внедрением интегралов по объему, при этом были введены некие малые принципы, в Главная редакция - страница 7 каких мы можем распознать «принцип Дирихле». Для Гаусса существование минимума было естественным; позднее это стало предметом дискуссии, а окончательное решение было дано Гильбертом.

Деятельность Гаусса не ослабла до его погибели в 1855г. В последние Главная редакция - страница 7 годы жизни он все в большей и большей степени отдавал силы прикладной арифметике. Вобщем, его публикации не дают полной картины всего его величия. Когда были написаны его дневники и, отчасти, письма, выяснилось, что Главная редакция - страница 7 некими из более глубочайших собственных мыслей он не поделился. Сейчас мы знаем, что Гаусс уже в 1800г. открыл эллиптические функции и около 1816г. он уже завладел неевклидовой геометрией. По этим вопросам Главная редакция - страница 7 он никогда ничего не публиковал, и исключительно в неких письмах к друзьям он выложил свое критичное отношение к попыткам обосновать теоремы Евклида о параллельных. По-видимому, Гауссу не хотелось на публике Главная редакция - страница 7 затрагивать какой-нибудь спорный вопрос. В письмах он гласит об осах, которые могут в него впиться, и о «криках беотийцев», которые раздадутся, если раскрыть его потаенны. Про себя Гаусс колебался в справедливости всераспространенной кантовской Главная редакция - страница 7 доктрины, что наше понятие места априорно и евклидово,— для него настоящая геометрия места была физическим явлением, которое было надо открыть при помощи опыта.

4. В собственной истории арифметики девятнадцатого века Феликс Клейн ассоциирует Главная редакция - страница 7 Гаусса и французского математика Адриеиа Мари Лежандра, который был старше Гаусса на 20 лет. Может быть, не полностью уместно ассоциировать Гаусса с любым математиком, кроме самых величавых, но конкретно это сопоставление Главная редакция - страница 7 указывает, что идеи Гаусса вроде бы носились в воздухе, так как Лежандр, идя своими способами, работал над многими вопросами, которыми занимался Гаусс. С 1775 по 1780 г. Лежандр преподавал в военной школе в Па

р


Адриен Мари Главная редакция - страница 7 Лежандр

(1752—1833)
иже, а позднее занимал разные официальные должности: доктора Обычной школы, экзаменатора Политехнической школы и инспектора геодезических работ.

Как и Гауссу, ему принадлежат фундаментальные работы по теории чисел [«Опыт теории чисел Главная редакция - страница 7» (Essai sur les nombres, 1798 г.), «Теория чисел» (Theorie des nombres, 1830 г.)], в каких он определил закон квадратичной взаимности. Он отдал принципиальные работы по геодезии и теоретической астрономии. Он был настолько же усердным вычислителем таблиц Главная редакция - страница 7, как и Гаусс;

в 1806 г. он выложил способ меньших квадратов; он изучал притяжение эллипсоидов, даже таких, которые не являются поверхностями вращения, при этом им введены «функции Лежандра». Как и Гаусс, он Главная редакция - страница 7 интересовался эллиптическими и эйлеровыми интегралами, равно как и основами и способами евклидовой геометрии.

Хотя Гаусс поглубже просочился в суть всех этих разных областей арифметики, Лежандру принадлежат принципиальные и выдающиеся работы Главная редакция - страница 7. Его необъятные управления в течение долгого времени были в большенном почете, в особенности его «Упражнения по интегральному исчислению» (Exercices du calcul integral, в 3-х томах, 1811—1819 гг.) и «Трактат об эллиптических функциях и эйлеровых интегралах Главная редакция - страница 7» (Traite des fonctions elliptiques et des integrates euleriennes, 1827—1832 гг.), и доныне остающийся примерным произведением. В собственных «Основах геометрии» (Elements de geometric, 1794 г.) on отошел от платоновских эталонов Евклида и отдал учебник Главная редакция - страница 7 простой геометрии, исходя из требований современной педагогики. Эта книжка выдержала много изданий и была переведена на ряд языков, ее воздействие было долгим

5. Началом нового периода в истории французской арифметики можно, пожалуй, считать учреждение Главная редакция - страница 7 военных

школ и академий в конце восемнадцатого века. Такие школы, некие из которых появились и вне Франции (Турин, Вулвич), отводили существенное место обучении арифметике как составной части подготовки военных инженеров. Карьера Лагранжа началась в Туринской Главная редакция - страница 7 артиллерийской школе, Лежандр и Лаплас были педагогами военной школы в Париже, Монж — в Мезьере. Карно был капитаном инженерных войск. Энтузиазм Наполеона к арифметике зародился в годы учебы в военных академиях Бриенна и Главная редакция - страница 7 Парижа. Когда во Францию вторглись роялистские армии, необходимость централизовать подготовку военных инженеров стала тривиальной. Потому была базирована Парижская политехническая школа (1794г.), школа, которая скоро выросла в будущее учебное заведение вообщем для Главная редакция - страница 7 инженеров и с течением времени стала прототипом для всех технических и военных школ начала девятнадцатого века, включая Вестпойнтскую школу в США.

Принципиальной составной частью учебного плана было преподавание теоретической и прикладной арифметики. Внимание Главная редакция - страница 7 уделялось как преподаванию, так и исследовательской работе. Наилучшие ученые Франции были приглашены, чтоб посодействовать этой школе. Многие большие французские арифметики были студентами, докторами либо экзаменаторами Политехнической школы1).

Для обучения в этом Главная редакция - страница 7 учреждении, как и в других технических школах, потребовался новый тип учебников. Не считая ученых трактатов для приготовленных читателей, что так приемлимо для периода Эйлера, потребовались управления для высшей школы. Некие из наилучших Главная редакция - страница 7 учебников начала девятнадцатого столетия были подготовлены для студентов Политехнической школы и схожих учреждений. Воздействие этих учебников можно проследить до наших дней. Неплохим примером такового управления является «Трактат дифференциального исчисления и интегрального Главная редакция - страница 7 исчисления» (Traite du calcul differentiel et du calcul integral, в 3-х томах 1797—1802 гг.) Сильвестра Франсуа Лакруа, по которому целые поколения изучали анализ. Мы уже упоминали книжки Лежандра. Еще одним примером является управление Главная редакция - страница 7 Монжа по начертательной геометрии, которому все еще следуют многие современные книжки по этому предмету.


') Ср. Jacobi С. G J, Werke,— Bd 7.— S. 355 (лекция, прочитанная в 1835 г).

6


Гаспар Монж (1746—1818)
. Гаспар Монж, директор Политехнической Главная редакция - страница 7 школы, был научным управляющим группы математиков, связанной с этим учреждением. Его карьера началась в военной академии в Мезьере (1768—1789гг.), где на лекциях по фортификации он имел озможность развивать начертательную геометрию, необыкновенную область Главная редакция - страница 7 геометрии. Он опубликовал свои лекции в книжке «Начертательная геометрия» (Geometrie descriptive, 1795—1799 гг.). В Мезьере он начал также приме нять анализ к исследованию пространственных кривых и поверхностей, и его работы позднее были размещены в «Приложеи Главная редакция - страница 7 анализа к геометрии» (Application de I'analyse a la ometrie, 1809 г.). Это — 1-ая книжка по дифференциальной геометрии, хотя еще не полностью современная по форме изложения. Монж — один из первых математиков нового времени Главная редакция - страница 7, кого мы считаем спецом: он геометр, и даже его подход к уравнениям в личных производных носит ясно выраженный геометрический Нрав.

Геометрия начала процветать в Политехнической школe благодаря воздействию Монжа. В Главная редакция - страница 7 начертательной геометрии Монжа содержался эмбрион проективной геометрии, а ею мастерство в применении алгебраических и аналитических способов в теории кривых и поверхностей почти во всем способствовало развитию аналитической и дифференциальной геометрии. Жан Главная редакция - страница 7 Ашетт и Жан Батист Био развивали аналитическую геометрию конических сечений и поверхностей второго порядка. В «Опыте аналитической геометрии» (Essai de geometiie aoalytique, 1802г.) Био мы, в конце концов, можем распознать наш современный учебник аналитической геометрии Главная редакция - страница 7. Ученик Монжа Шарль Дюпен, во времена Наполеона юный инженер-кораблестроитель, использовал способы собственного учителя в теории по

верхностей, где он отыскал асимптотические и сопряженные полосы. Дюпен стал доктором геометрии в Париже. За Главная редакция - страница 7 свою долгую жизнь он достигнул видного положения и в области политики, и в области индустрии. «Индикатриса Дюпена» и «циклиды Дюпена» напоминают нам о его ранешних интересах. В его книжках «Развитие геометрии Главная редакция - страница 7» (Developpements de geometrie, 1813 г.) и «Применеиия геометрии» (Applications de geometrie, 1825 г.) много увлекательных суждений.

Самым типичным учеником Мошжа был Виктор Понсоле. Он получил возможность размышлять над способами собственного учителя в 1813 г., когда жил в Главная редакция - страница 7 Рф, как военнопленный, после поражения «великой армии» Наполеона. Понселе завлекала чисто синтетическая сторона геометрии Монжа, и это привело его к той системе представлений, которую на два столетия ранее создавал Дезарг. Понселе стал Главная редакция - страница 7 основоположником проективной геометрии «Трактат о проективных свойствах фигур» (Traite des proprietes projectives des figures) Понселе появился в 1822 г. Этот объемистый том содержит все значительные понятия, относящиеся к этой новейшей ветки геометрии Главная редакция - страница 7, как гармоническое отношение, перспективность, проективность, инволюцию и даже циклические точки на бесконечности. Понселе знал, что фокусы конического сечения можно рассматривать как скрещение касательных к этому сечению из повторяющихся точек. «Трактат» содержит также Главная редакция - страница 7 теорию многоугольников, вписанных в одно коническое сечение и обрисованных около другого конического сечения (так именуемая «проблема замыкания» Понселе). Хотя эта книжка была только первым полным трактатом по проективной геометрии, эта дисциплина в Главная редакция - страница 7 течение ближайших десятилетий достигнула той степени совершенства, которая делает ее традиционным примером законченной математической конструкции.

Хотя Монж был человеком жестких демократических убеждений, он относился лояльно к Наполеону, в каком он Главная редакция - страница 7 лицезрел осуществителя эталонов революции. В 1815г., когда возвратились Бурбопы, Монж был устранен со собственного поста и скоро после чего погиб. Все таки Политехническая школа продолжала развиваться в духе Монжа. По самому нраву обучения было Главная редакция - страница 7 тяжело отделить друг от друга чистую и прикладную арифметику. Много внимания уделялось механике, а математическая физика начала, в конце концов, освобождаться от «катоптрик» и «диоптрик» древних ученых.

Этьен Малюс открыл Главная редакция - страница 7 поляризацию света (1810г.), а Огюстен Френель возродил волновую теорию света Гюйгенса (1821г.). Андре Мари Ампер, которому принадлежат выдающиеся работы по уравнениям в личных производных, после 1820г. стал пионером в области электромагнетизма. Эти исследователи много Главная редакция - страница 7 дали арифметике, конкретно и опосредствованно. Одним из примеров является улучшенная Дюпеном геометрия световых лучей Малюса, что содействовало модернизации геометрической оптики и явилось вкладом в геометрию прямолинейных конгруэнции.

«Аналитическая механика» Лагранжа Главная редакция - страница 7 была предметом кропотливого исследования, ее способы проверялись и применялись. В статике, в силу ее геометрического нрава, опирались на Монжа и на его учеников, и в течение этик лет появились несколько трактатов по статике Главная редакция - страница 7, включая и принадлежащий самому Монжу (1788г., ряд изданий). В полной силе геометрическое направление в статике утвердил Луи Пуансо, в течение многих лет член французского Высшего совета народного образования. Его «Начала статики» (Elements de statique Главная редакция - страница 7, 1804 г.) и «Новая теория вращения тел» (Theorie nouvelle de la rotation des corps, 1834 г.) добавили к представлению о силе представление о крутящем моменте (пара); теория Эйлера моментов инерции была дополнена эллипсоидом инерции Главная редакция - страница 7, и было изучено движение этого эллипсоида при движении твердого тела в пространстве и при вращении вокруг недвижной точки. Понселе и Кориолис дали геометрический нрав лагранжевой аналитической механике. Оба они, равно Главная редакция - страница 7 как и Пуансо, выделяли применение механики к теории машин. «Кориолисово ускорение», которое возникает, когда тело движется относительно ускоряемой системы координат,— один из примеров геометрической интерпретации результатов Лагранжа (1835 г.).


[10] Произнесенное об отношении Пуансо Главная редакция - страница 7, Понселе и Кориолиса к аналитической механике Лагранжа просит уточнения. Пуансо был решительным приверженцем геометрических способов в механике в силу того, что он стремился к приятному представлению всех событий движения и разных величин, характеризующих Главная редакция - страница 7 движение. Согласно Пуансо, не много вывести описывающие движение формулы, высчитать движение, нужно еще представить итог таким макаром, чтоб можно было по данному решению вроде бы узреть процесс движения. Понселе, который Главная редакция - страница 7 занялся механикой уже после собственных серьезных исследовании по проективной геометрии, стремился использовать теоретические результаты и способы

к задачкам прикладного нрава, в теории машин и устройств. Заодно он ставил для себя целью довести теорию до практиков, дать Главная редакция - страница 7 шложеппе способов и результатов, доступное пе только инженерам, да и техникам, мастерам, ремослишшкам.

Не отвергая аналитических способов, Попселе и примыкавшие к нему Кориолис и другие механики ставили и решали задачки Главная редакция - страница 7, связанные с техническими запросами (1-ый вывод общей формулы для ускорения в относительном движении, данный Кориолнсом,— чисто аналитический): они учитывали трение (чего совершенно нет у Лагранжа), пользуясь эмпирическими коэффициентами; следуя призыву Ампера Главная редакция - страница 7, развивали кинематику устройств; верно обусловили понятие работы и применяли закон живых сил в динамике машин оценивая утрату работы (энергии) вследствие наличия трущихся поверхностен и т. п. В механике Пуансо — представитель «наглядного направления», но он Главная редакция - страница 7 остается механикомтеоретиком, Понселе и Кориолис — представители «индустриального направления», и они объединяют воедино и в собственных курсах, и в собственной исследовательской работе теоретическую механику с новыми формирующимися дисциплинами: динамикой машин и Главная редакция - страница 7 кинематикой устройств.

Более выдающимися математиками, связанными с Политехнической школой в ее ранешном периоде, были — не считая Лагранжа и Монжа — Симеон Пуассон, Жозеф Фурье и Огюстен Коши. Все трое глубоко интересовались применениями арифметики Главная редакция - страница 7 к механике и к физике и все трое благодаря таким интересам пришли к открытиям в незапятанной арифметике. На продуктивность Пуассона показывает нередкое упоминание его имени в наших учебниках: скобки Пуассона в теории Главная редакция - страница 7 дифференциальных уравнений, неизменная Пуассона в теории упругости, интеграл Пуассона и уравнение Пуассона в теории потенциала. Это «уравнение Пуассона», ∆v=4ρ, было результатом открытия Пуассона (1812 г.), что уравнение Лапласа ∆v=0 имеет силу только вне масс, а серьезное Главная редакция - страница 7 подтверждение для масс переменной плотности было дано только Гауссом в его «Общих теоремах» (1839—1840гг.). «Трактат по механике» (Traite de mecanique, 1811 г.) Пуассона написан в духе Лагранжа и Лапласа, но содержит Главная редакция - страница 7 много новшеств, как, к примеру, очевидное внедрение импульсов , что позднее сказалось на работах Гамильтона и Якоби. Изданная им в 1837 г. книжка содержит «закон Пуассона» в теории вероятностей.

О Фурье мы сначала вспоминаем как Главная редакция - страница 7 об создателе «Аналитической теории теплоты» (Theorie analytique de la

chaleur, 1822г.). Это — математическая теория теплопроводимости и, стало быть, в главном исследование уравнения ∆v=k*v/t. В силу общности способа эта книжка Главная редакция - страница 7 стала источником всех современных способов математической физики, относящихся к интегрированию уравнений в личных производных при данных граничных критериях. Способом Фурье было применение тригонометрических рядов, что уже было предметом дискуссии меж Эйлеров Главная редакция - страница 7 Даламбером и Даниилом Бернулли. Фурье вполне разъяснил положение вещей. Он установил тот факт, что «произвольную» функцию (функцию, которую можно изобразить дугой непрерывной кривой либо сочетанием таких дуг) можно представить тригонометрическим рядом вида (Апcos Главная редакция - страница 7 пах + Bnsinnax). Невзирая на все то, что было обозначено Эйлером и Бернулли, эта мысль была так нова и ошеломляюща во времени Фурье, что, согласно преданию, когда он в первый раз в 1807г. высказал свои Главная редакция - страница 7 суждения, он повстречал энергичную оппозицию со стороны не кого другого, как Лагранжа. Ряды Фурье сейчас стали отлично разработанным средством в теории уравнений в личных производных при решении граничных задач Главная редакция - страница 7. Они и сами по для себя завлекают внимание благодаря присущим им свойствам. Исследование этих рядов, проведенное Фурье, ясно поставило вопрос о том, что следует осознавать под функцией. Это было одной из обстоятельств Главная редакция - страница 7 того, что арифметики девятнадцатого столетия сочли нужным более кропотливо разглядеть вопросы о строгости математических доказательств и об общих основах математических понятий1). За эту задачу» в личном случае рядов Фурье, взялись Дирихле и Риман Главная редакция - страница 7.

7. Заслуги Коши в работах, по математическому анализу отодвинули в тень его бессчетные труды по оптике и механике, но мы не должны забывать, что он, совместно с Навье, принадлежит к основателям математической теории упругости Главная редакция - страница 7. Больше всего славы принесли ему теория функций всеохватывающего переменного и то, что он настаивал на строгости математического анализа


') Jourdain F. P. В. Note on Fourier's Influence on the Conceptions of Главная редакция - страница 7 Mathematics / Proc. Intern. Congress Math Cambridge, 1912.— V. 2.— P. 526, 527,

Функции всеохватывающего переменного былнг введены еще ранее, а именно Даламбером, который в одной из работ о сопротивлении жидкостей (1752 г.) получил даже то, что мы сейчас называем уравнениями Главная редакция - страница 7 Коши — Римана, Но в руках Коши теория функций всеохватывающего переменного перевоплотился из полезного для гидродинамики и аэродинамики орудия в новейшую и самостоятельную область математических исследовательских работ. Работы Коши в Главная редакция - страница 7 этой области, начиная с 1814 г., возникают безпрерывно. Одной из более принципиальных является его «Мемуар об определенных интегралах, взятых меж надуманными пределами» (Memoire sur les integrales definies, prises enlre des limites imaginaires, 1825 г.). В этой работе Главная редакция - страница 7 мы находим интегральную аксиому Коши, в связи с чем вводятся вычеты. Аксиома о том, что всякую регулярную функцию f(z) можно разложить поблизости хоть какой точки z = z0 в ряд, сходящийся Главная редакция - страница 7 в круге, проходящем через необыкновенную точку, ближайщую к z = z0, была размещена в 1831 г., в том самом году, когда Гаусс опубликовал свою арифметическую теорию всеохватывающих чисел. Обобщение аксиомы Коши о рядах, данное Главная редакция - страница 7 Лораном, было размещено в 1843г., когда его знал также и Вейерштрасс. Эти факты демонстрируют, что теории Коши не довелось повстречаться с сопротивлением профессионалов: с самого начала теория функций всеохватывающего переменного Главная редакция - страница 7 была признана на сто процентов.

Коши, вкупе со своими современниками — Гауссом, Абелем и Больцано, принадлежит к пионерам в деле внедрения в арифметику завышенной строгости. Восемнадцатое столетие было в главном периодом экспериментирования, когда новые Главная редакция - страница 7 результаты сыпались в обилии. Арифметики тех пор не очень хлопотали об обосновании собственных исследовательских работ — о Даламбере говорят, что он заявил: «Шагайте вперед, и вера к вам придет». Когда они занимались обоснованием, как другой Главная редакция - страница 7 раз Эйлер и Лагранж, их аргументы не всегда были убедительными. Сейчас же пришло время для четкого выяснения смысла приобретенных результатов. Что является «функцией» вещественного переменного, которая так различно ведет себя в Главная редакция - страница 7 случае ряда Фурье и в случае степенного ряда? В каком отношении она находится к совсем хорошей «функции» всеохватывающего переменного? Такие вопросы подняли все неразрешенные трудности относительно обоснования анализа и существования возможной Главная редакция - страница 7 и животрепещущей бесконечности и выдвинули

их на фронтальный план1). То, что делал Евдокс во времена, последовавшие за падением афинской демократии, Коши и его скрупулезные современники начали завершать во времена промышленного капитализма. Разница в Главная редакция - страница 7 публичных критериях привела к разным результатам: фуррор Евдокса вел к замиранию продуктивности, фуррор реформаторов нового времени в высочайшей мере стимулировал математическую деятельность. За Коши и Гауссом последовали Вейерштрасс и Кантор.

Коши отдал то обоснование Главная редакция - страница 7 анализа, которое на данный момент является принятым в наших учебниках. Это можно отыскать в его «Курсе анализа» (Cours d'analyse, 1821г.) и в его «Резюме лекций, прочитанных в Царской Главная редакция - страница 7 политехнической школе» I (Resume des legons donnees a 1'ecole royale polytechnique, 1823г.). Коши использовал даламберово понятие предела, чтоб найти производную от функции и, таким макаром, более крепко доказать это понятие, чем могли сделать его Главная редакция - страница 7 предшественники.

Исходя из определения предела, Коши дает примеры такие, как предел sinα/α при α=0. Потом он определяет «бесконечно маленькое переменное» как переменное число, предел которого есть нуль, и дальше постулирует, что ∆y Главная редакция - страница 7 и ∆x «будут нескончаемо малыми количествами». Потом он пишет ∆y/∆x=(f(x+i)-f(x))/i и именует предел при i→0 «производной функцией у' либо f(x)». Он считает потом i Главная редакция - страница 7 = αh, где α — «бесконечно малое», a h— «конечное количество»:



именует h «дифференциалом функции y = f(x). Дальше, dy=df(x)=hf’(x); dx= h 2).

Коши воспользовался и обозначениями Лагранжа, и многими его плодами Главная редакция - страница 7 в теории вещественных функций, ничего не заимствуя из алгебраического обоснования по Лагранжу. Аксиома о среднем значении и остаточный


') Jour da in Р. Е. В. The Origin of Cauchy's Conception of a Definite Integral and Главная редакция - страница 7 of the Continuity of a Function // Isis.— 1913.— V. 1P 661703, см также: Bibl. Math. 1905 V. 6. P. 190— 207.

2) Resume I (1823). Calcul differentiel 13—27. Четкий анализ такового приема см : Р a s h M Главная редакция - страница 7. Mathematik am Ursprung.— Leipzig. 1927 S. 4773.

ч


Эварист Галуа (1811—1832)
лен ряда Тейлора вводились так, как их вывел Лагранж, но сейчас исследование ряда велось с подабающим учетом его сходимости. Несколько признаков сходимости в теории безграничных рядов Главная редакция - страница 7 носят имя Коши. В его книжках полностью точно намечается та арифметизация анализа, которая позднее стала сущностью исследовательских работ Вейерштрасса. Коши отдал также 1-ое подтверждение существования решения дифференциального уравнения и системы таких уравнений (1836г Главная редакция - страница 7.). Таким макаром, Коши, в конце концов, заложил базы для ответа на тот ряд заморочек и парадоксов, которые были бичом математиков со времен Зенона, и он сделал это, не отрицая и не игнорируя Главная редакция - страница 7 их, а создав математическую технику, которая отдала возможность их учитывать. Коши, как и его современник Бальзак, с которым его сближает практически неограниченная продуктивность, был легитимистом и роялистом. Но оба они Главная редакция - страница 7 были так глубоки в собственных оценках, что, невзирая на их обскурантистские эталоны, почти все в их произведениях сохраняет основополагающее значение. После революции 1830 г. Коши оставил свою кафедру в Политехнической школе и провел пару лет Главная редакция - страница 7 в Турине и Праге; он возвратился в Париж в 1838 г. После 1848г. ему было разрешено остаться во Франции и преподавать, не принося присяги новенькому правительству. Его продуктивность была так велика Главная редакция - страница 7, что Парижская академия должна была ограничить объем всех статей, публикуемых в ее «Соmрtes Rendus» (отчетах), для того чтоб совладать с продукцией Коши. Говорят, что он так взволновал Лапласа, когда прочитал свою первую работу Главная редакция - страница 7 о сходимости рядов в Парижской академии, что этот величавый ученый поторопился домой, для того чтоб проверить ряды в собственной «Небесной механике». Кажется, он установил, что там нет грубых ошибок.

8. Парижская Главная редакция - страница 7 среда с ее напряженной математической деятельностью породила, около 1830 г., гения первой величины, который подобно комете пропал также в один момент, как и появился. Эварист Галуа, отпрыск мэра малеханького города поблизости Парижа, два раза не был Главная редакция - страница 7 принят в Политехническую школу и только потом он поступил в Нормальную школу, но был оттуда уволен. Он старался просуществовать, обучая арифметике и сразу стараясь какнибудь скооперировать свою страстную любовь к Главная редакция - страница 7 науке и приверженность к демократическим идеям. Галуа как республиканец участвовал в революции 1830 г., несколько месяцев провел в кутузке и скоро после чего, 21-го года от роду, был убит на дуэли. Две статьи, которые Главная редакция - страница 7 он послал в печать, пропали в редакторских ящиках, несколько других статей были написаны спустя много лет после его погибели. Намедни дуэли он написал одному из друзей резюме собственных открытий в теории уравнений. Этот Главная редакция - страница 7 драматический документ, в каком он просит собственного друга сказать о его открытиях ведущим математикам, заканчивался такими словами:

«Ты на публике попросишь Якоби либо Гаусса дать заключение не о справедливости, а Главная редакция - страница 7 о значении этих теорем. После чего я надеюсь, найдутся люди, которые сочтут необходимым расшифровать всю эту галиматью».

Эта галиматья («се gachis») содержала ни мало ни много теорию групп, ключ к современной алгебре и к Главная редакция - страница 7 современной геометрии. В известной мере эти идеи были предвосхищены Лагранжем и итальянцем Руффини, но Галуа имел уже полное представление о теории групп. Он отыскал главные характеристики группы преобразований, связанной с Главная редакция - страница 7 корнями алгебраического уравнения, и показал, что область рациональности этих корней определяется таковой группой. Галуа указал на то центральное положение, которое занимают инвариантные подгруппы. В теории Галуа отыскали свое естественное место старенькые задачи Главная редакция - страница 7 такие, как трисекция угла, удвоение куба, решение кубических и биквадратных уравнений, равно как решение алгебраического уравнения хоть какой степени. Как нам понятно, письмо Галуа не попало ни к Гауссу, ни к Якоби. Математическая Главная редакция - страница 7 общественность не знала об этом письме до того, как Лиувилль напечатал огромную часть работ Галуа в собственном журнальчике в 1846 г., когда Коши уже начал печатать свои работы по теории групп (1844—1846гг Главная редакция - страница 7.). Только тогда некие арифметики заинтересовались теориями Галуа. Полное осознание значения

Галуа было достигнуто только благодаря «Трактату о подстановках» (Traite des substitutions, 1870 г.) Камилла Жордана и последовавшим за этим работам Клейна и Ли Главная редакция - страница 7. Сейчас объединяющий подход Галуа признается одним из самых выдающихся достижений арифметики девятнадцатого столетия1).

У Галуа были новые идеи и относительно интегралов от алгебраических функций 1-го переменного, которые мы на данный момент называем абелевыми интегралами. Таким Главная редакция - страница 7 макаром, ход его мыслей близок к ходу мыслей Римаш. Можно, естественно, только в порядке догадки сказать, что, проживи Галуа подольше, современная математика вдохновлялась бы больше всего Парижем и школой Лагранжа Главная редакция - страница 7, а не Гёттингеном и школой Гаусса.

9. В двадцатые годы появился другой юный гений, Нильс Генрик Абель, отпрыск сельского священника в Норвегии. Маленькая жизнь Абеля практически настолько же трагична, как жизнь Галуа. Будучи Главная редакция - страница 7 студентом в Христиании, он некое время задумывался, что решил уравнение пятой степени, но он сам поправил себя в брошюре, размещенной в 1824г. Это — та именитая работа, в какой Абель обосновал невозможность Главная редакция - страница 7 решения общего уравнения пятой степени в радикалах,— задачка, которая занимала математиков со времен Бомбелли и Виета (подтверждение, данное в 1799г. итальянцем Паоло Руффини, Пуассон и другие арифметики считали очень неопределенным). Тогда Абель получил стипендию Главная редакция - страница 7, что позволило ему совершить поездку в Берлин, Италию и Францию. Мучимый бедностью и чахоткой, застенчивый и сдержанный юный математик завязал только малость знакомств. Он погиб скоро после возвращения на родину (1829г.). Во время Главная редакция - страница 7 собственного путешествия Абель написал несколько работ, в каких изложены его исследования о сходимости рядов, по «абелевым» интегралам и по эллиптические функциям. Аксиомы Абеля в теории безграничных рядопоказывают, что он Главная редакция - страница 7 мог подвести под эту теорию крепкий фундамент. «Можешь ли ты вообразить нечто более ужасное, чем утверждение, что 0 = 1n —2n +3n —4n +..., где п — положительное целое число?»— писал он одному и друзей и Главная редакция - страница 7 продолжал:


') См. Miller G A. History of the Theory of Groups to 1900 /, Coll. Works, v. 1.— 1935.—P. 427—467,


«В арифметике навряд ли есть хоть один нескончаемый ряд, сумма которого была бы строго определена» (письмо Главная редакция - страница 7 кХолмбое, 1826 г.).

Исследования Абеля по эллиптическим функциям велись в недолговременном, но интересном соревновании с Якоби. Гаусс в собственных личных заметках уже уста|ювил, что воззвание эллиптических интегралов приводиг к конкретным двоякопериодическим функциям, но Главная редакция - страница 7 он никогда не публиковал собственных суждений. Лежандр, который положил столько усилий на эллиптические интегралы, на сто процентов упустил это событие, и открытия Абеля, с которыми он познакомился уже стариком, произвели на Главная редакция - страница 7 него глубочайшее воспоминание. Абелю подфартило в том отношении, что новое периодическое издание охотно печатало его статьи: 1-ый том «Журнала незапятанной и прикладной математики», издаваемого Креллем1), содержал ни мало ни много 5 статей Абеля. Во 2-м Главная редакция - страница 7 томе (1827 г.) появилась 1-ая часть «Исследований об эллиптических функциях» Абеля, с чего начинается теория двоякопериодических функций.

Мы говорим об интегральном уравнении Абеля и об абелевой аксиоме относительно суммы интегралов алгебраических функций Главная редакция - страница 7, что приводит к абелевым функциям. Коммутативные группы носят заглавие абелевых, что указывает, как плотно сплетены идеи Галуа и Абеля.

10. В 1829 г., в год погибели Абеля, Карл Густав Якоб Цкоби опубликовал свои «Новые базы Главная редакция - страница 7 теории эллиптических функций» (Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum). Создатель был тогда юным доктором Кёнигсбергского института. Якоби, отпрыск берлинского банкира, принадлежал к видной семье; его брат Мориц2) жил в Петербурге и был одним из Главная редакция - страница 7 первых российских ученых, занимавшихся экспериментальным исследованием .электронных явлений. После пары лет занятий в Берлине Якоби преподавал в Кенигсберге, с 1826 по 1843г. Потом он пробыл некое время в Италии, пытаясь вернуть Главная редакция - страница 7 свое здоровье, и окончил собственный актуальный путь доктором Берлинского института в 1851г., в возрасте сорока 6 лет. Это был смышленый и либеральный мыслитель, вдохновляющий педагог


') Journal fur die reine und angewandte Mathematik, основанный (в Берлине Главная редакция - страница 7) и в течении многих лет руководимый Креллем, издается и доныне.

2) Узнаваемый в нашей стране под именованием Борис Семенович Якоби.— ^ Примеч. ред.

и ученый большой энергии, с большой ясностью мысли, что позволило ему затронуть Главная редакция - страница 7 практически все области арифметики.

Свою теорию эллиптических функций Якобп строил на базе 4 функций, так именуемых тэта-функций, определенных нескончаемыми рядами. Двоякоперподические функции snu, сnи и dnи и являются отношениями тэта-функций; они Главная редакция - страница 7 удовлетворяют неким тождествам и аксиомам сложения, схожим с тождествами и аксиомами для синуса и косинуса в обыкновенной тригонометрии. Аксиомы сложения эллиптических функции можно также рассматривать как личное применение аксиомы Абеля о Главная редакция - страница 7 сумме интегралов алгебраических функций. В связи с этим появился вопрос, можно ли направить гиперэллиптические интегралы так же, как удалось направить эллиптические интегралы и получить эллиптические функции. Решение было найдено Якоби в 1832 г., когда Главная редакция - страница 7 он опубликовал собственный итог, что такое воззвание можно выполнить при помощи функций более чем 1-го переменного. Так родилась теория абелевых функций от р переменных, которая стала принципиальной ветвью арифметики девятнадцатого столетия Главная редакция - страница 7.

Сильвестр именовал якобианом узнаваемый многофункциональный определитель, чтоб воздать подабающее трудам Якоби по алгебре и по теории исключения. Самой известной из работ Якоби в этой области является статья «О построении и свойствах определителей» (De Главная редакция - страница 7 formatione et proprietatibus determinantium, 1841 г.), которая сделала теорию определителей общим достоянием математиков. Сама мысль определителя существенно старше — она всходит в главном к Лейбницу (1693г.), щвейцарскому арифметику Габриэлю Крамеру (1750 г.) и Главная редакция - страница 7 Лагранжу (1770 г.), а заглавие принадлежит Коши (1812г.). Миками указал, что японский математик Секи Кова пришел к идее определителя несколько ранее 1683 г.1).

С Якоби, может быть, идеальнее всего познакомиться по его красивым «Лекциям Главная редакция - страница 7 по динамике» (Vorlesungen uber Dynamik), размещенным в 1866г. по записям 1842—1843гг. Они написаны в духе французской школы Лагранжа и Пуассона, но содержат огромное количество новых мыслей. Мы находим тут исследования Якоби по уравнениям в Главная редакция - страница 7 личных производных первого порядка и их


') М i k a m i I. On the Japanese Theory of Determinants // Isis.— 1914.— V. 2.— P. 9—36.

применению к дифференциальным уравнениям динамики. Увлекательную главу «Лекций по динамике Главная редакция - страница 7» составляет определение геодезических линий на эллипсоиде; эта задачка приводит к соотношению меж 2-мя абелевыми интегралами.

1


Вильям Роуэн Гамильтон (1805—1865)
1. От «Лекций по динамике» Якоби естественно перейти к арифметику, чье имя нередко Главная редакция - страница 7 связывается с именованием Якоби,— Вильяму Роуэну Гамильтону (не следует путать его с его современником, эдинбургским философом Вильямом Гамильтоном). Всю свою жизнь он провел в Дублине, где он родился в ирландской семье. Он Главная редакция - страница 7 поступил в «Тринити колледж» (Trinity college — институт троицы) в 1827 г., 21-го года от роду он стал царским астрологом Ирландии и оставался в этой должности до собственной погибели в 1865 г. Мальчуганом он изучал континентальную Главная редакция - страница 7 арифметику, что было еще новостью в Англии, по работам Клеро и Лапласа и в собственных только уникальных исследовательских работах по оптике и динамике показал, что он завладел новыми способами. Его теория Главная редакция - страница 7 световых лучей (1824г.) — это не только лишь дифференциальная геометрия прямолинейных конгруэнции, это и теория оптических инструментов, что позволило Гамильтону предсказать коническую рефракцию в двуосных кристаллах. В этой работе возникает его «характеристическая функция Главная редакция - страница 7», что стало руководящей мыслью в «Об

щем способе динамики» (General Method In Dynamics), написанном в 1834—1835 гг. План Гамильтона состоял в том, чтоб из 1-го общего принципа вывести как оптику, так и динамику. Эйлер, защищая Мопертюи Главная редакция - страница 7, уже показал, что с этой целью можно использовать стационарность значения интеграла «действия». Следуя этому пути, Гамильтон сделал оптику и динамику 2-мя видами внедрения вариационного исчисления. Он отыскивает стационарное значение Главная редакция - страница 7 некого интеграла и рассматривает его как функцию пределов интегрирования. Это дает «характеристическую» либо «главную» функцию, которая удовлетворяет двум уравнениям в личных производных. Одно из этих уравнений, которое обычно записываетеся в виде



Якоби особо выделил Главная редакция - страница 7 в собственных лекциях по динамике, и сейчас оно понятно как уравнение Гамильтона — Якоби. Это затемнило значение характеристической функции Гамильтона, занимающей в его теории центральное место как средство объединения механики и математической физики Главная редакция - страница 7. «Характеристическая функция» вновь была открыта Брунсом в 1895г. в геометрической оптике и под заглавием «эйконала» оказалась полезной в теории оптических инструментов.

Та часть работ Гамильтона но динамике, которая вошла в состав арифметики Главная редакция - страница 7,– это сначала «каноническая форма, в какой он записал уравнения динамики: q’=H/p, p’=-H/q. Каноническая форма и дифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби дали Ли возможность установить зависимость меж динамикой и касательными преобразованиями. Другая Главная редакция - страница 7 воспринятая идея Гамильтона — это вывод законов физики и механики из варианты некого интеграла. Современная теория относительности, равно как и квантовая механика, значительно употребляет «гампльтонову функцию».

1843г. был переломным в жизни Гамильтона. В Главная редакция - страница 7 этом году он открыл кватернионы, исследованию которых он предназначил остальную часть собственной жизни. Это открытие мы разглядим ниже.

12. Петер Лежен Дирихле был плотно сплетен как с Гауссом и Якоби Главная редакция - страница 7, так и с французскими математиками. 1822—1827 гг. Он жил в Париже как личный учитель

встречался с Фурье, чью книжку он исследовал; он отлично дознакомился также и с «Арифметическими исследованиями» Гаусса. Позже он преподавал в институте в Бреслау Главная редакция - страница 7 (сейчас Вроцлав), а в 1855г. став преемником Гаусса в Гёттингене. Его личное знакомство как с французскими, так и с германскими математиками и с арифметикой обеих государств позволило ему стать истолкователем Гаусса Главная редакция - страница 7 и вкупе с тем подвергнуть глубочайшему анализу ряды Фурье. Его красивые «Лекции по теории чисел» (Vorlesungen iiber die Theorie der Zahleii, размещены в 1863 г.) все еще остаются одним из наилучших введений Главная редакция - страница 7 в исследования Гаусса по теории чисел. Они содержат также много новых результатов. В работе 1840г. Дирихле показал, как использовать всю мощь теории аналитических функций в задачках теории чисел, и в этих исследовательских работах он Главная редакция - страница 7 ввел «ряды Дирихле». Ему принадлежит также обобщение понятия квадратичной иррациональности на общие алгебраические области рациональности (поля).

Дирихле отдал 1-ое серьезное подтверждение сходимости рядов Фурье, и этим он способствовал уточнению понятия функции Главная редакция - страница 7. В вариационное исчисление он ввел так именуемый принцип Дирихле, который утверждает существование функции (v), обращающей в минимум интеграл ∫ (vx2 + vy2 + vz2)dxdydz при данных граничных критериях. Это было видоизменением принципа, введенного Гауссом Главная редакция - страница 7 в его теории потенциала 1839—1840 гг., а позднее у Римана это оказалось массивным орудием при решении задач теории потенциала.

Мы уже упоминали о том, что Гильберт смог строго доказать этот принцип Главная редакция - страница 7 (с. 182).

13. Переходя к Бернгарду Риману, преемнику Дирихле в Гёттингене, мы встречаем человека, больше чем кто-нибудь другой повлиявшего на развитие современной арифметики. Риман был отпрыском деревенского священника, обучался в Гёттингенском институте, где в 1851г Главная редакция - страница 7. получил степень доктора. В том же институте в 1854 г. он стал приват-доцентом, а в 1859 г.— доктором. Больной, как и Абель, он провел последние месяцы жизни в Италии, где погиб Главная редакция - страница 7 в 1866г. в сорокалетнем возрасте. За свою маленькую жизнь он опубликовал сравнимо маленькое число работ, но любая из их была и остается принципиальной, а некие из их раскрыли совсем новые и плодотворные Главная редакция - страница 7 области.

В


Георг Фридрих Бернгард

Риман (1826-1866)
1851 г. появилась докторская диссертация Римана по теории функций всеохватывающего переменного и + iv = f(x+iy). Как и Даламбер и Коши, Риман исходил из гидродинамических суждений. Он конформно показывал Главная редакция - страница 7 плоскость (x,у) на плоскость (и,v) и устанавливал существование функции, модифицирующей всякую односвязную область одной плоскости на всякую односвязную область другой плоскости. Это привело к понятию римановой поверхности, что ввело в анализ топологические Главная редакция - страница 7 представлления. В то время топология бьша еще практически незатронутым предметом, по которому была размещена только одна работа Листинга в журнальчике «Gottinger Studien» за 1847 г. Риман показал существенное значение топологии для Главная редакция - страница 7 теории функций всеохватывающего переменного. В этой диссертации разъясняется и риманово определение всеохватывающей функции: ее действительная и надуманная части должны удовлетворять «уравнениям Коши — Римана», их = vv, иу = — vx, в данной области, а не считая Главная редакция - страница 7 того должны удовлетворять неким условиям па границе и в особенных точках.

Риман применил свои идеи к гипергеометрическим и абелевым функциям (1857г.), обширно пользуясь принципом Дирихле (это его же термин). Посреди его Главная редакция - страница 7 результатов — открытие рода римановой поверхности как топологического инварианта и как средства систематизации абелевых функций. В статье, размещенной посмертно, эти идеи используются к наименьшим поверхностям (1867г.). К этому направлению деятельности Римана относится и Главная редакция - страница 7 его исследование по эллиптическим модулярным функциям и тэта-рядам с р независящими переменными, также работы по линейным дифференциальным уравнениям с алгебраическими коэффициентами.

В 1854 г. Риман стал приват-доцентом, представив сходу две фундаментальные работы, одну Главная редакция - страница 7 по тригономет

рическим рядам и по основам анализа, другую — по основам геометрии. В первой из этих работ рассмотрены условия Дирихле разложимости функций в ряд Фурье. Одним из этих критерий было то, что Главная редакция - страница 7 функция должна быть интегрируемой. Но что это означает? Коши и Дирихле уже давали ответ на таковой вопрос; Риман заместо их ответов отдал собственный, более содержательный. Он отдал то определение, которое на данный момент Главная редакция - страница 7 понятно как интеграл Римана и которое было заменено только в двадцатом столетии интегралом Лебега. Риман показал, что функции, определенные рядами Фурье, могут владеть такими качествами, как нескончаемое число максимумов либо минимумов, чего Главная редакция - страница 7 арифметики прежних времен не допустили бы, давая определение функции. Понятие функции стало по-настоящему высвобождаться от эйлерова представления о «любой кривой, произвольно начерченной от руки»1). В собственных лекциях Риман приводил пример Главная редакция - страница 7 непрерывной функции, не имеющей производной; пример таковой функции, данный Вейерштрассом, был размещен в 1875г. Арифметики не желали полностью серьезно относиться к этим функциям и называли их «патологическими», но современный анализ показал, как такие Главная редакция - страница 7 функции естественны. И тут Риман опять-таки просочился в существенную область арифметики.

Во 2-ой работе 1854г. рассматриваются догадки, на которых базирована геометрия. Место вводится как топологическое обилие случайного числа измерений, метрика в Главная редакция - страница 7 таком обилии определяется при помощи квадратичной дифференциальной формы. В собственном анализе Риман определял всеохватывающую функцию по ее локальному поведению, тут он таким же образом определяет нрав места. Этот объединяющий принцип позволил Главная редакция - страница 7 Риману не только лишь проклассифицировать все существовавшие виды геометрии, включая еще очень неясную тогда неевклидову геометрию, но отдал также возможность сделать хоть какое число новых типов места, многие из которых потом Главная редакция - страница 7 с полезностью были введены в геометрию и математическую физику. Риман опубликовал эту статью без какой-нибудь формульной техники, что сделало труднее осознание его мыслей. Позднее некие формулы были приведены в премированной Главная редакция - страница 7 работе о рассредотачивании теплоты в жестком теле, которую Риман представил в Парижскую академию


') Эйлер Л. Интегральное исчисление, т. 3, § 301.

(l861 г.). Тут мы имеем рисунок теории преобразования квадратичных форм.

В конце концов, мы должны упомянуть работу Римана Главная редакция - страница 7 в какой исследуется количество F(х) обычных чисел наименьших данного числа х (1859 г.). Это было применением теории функций всеохватывающего переменного к задачке о рассредотачивании обычных чисел, и там анализируется гипотеза Гаусса о Главная редакция - страница 7 том, что F(x) аппроксимируется интегральным логарифмом . Эта работа известна тем, что в ней содержится так именуемая догадка Римана о дзета-функции Эйлера (s) (это обозначение принадлежит Риману) для всеохватывающих Главная редакция - страница 7 s = х + iy: все не действительные нули этой функции находятся на прямой x =1/2. Эта догадка до сего времени и не подтверждена и не опровергнута1).

14. Нередко ассоциируют риманово определение функции всеохватывающего переменного с Главная редакция - страница 7 аналогичным определением Вейерштрасса. Карл Вейерштрасс в течение многих лет был учителем одной из прусских гимназий, в 1856 г. он стал доктором арифметики Берлинского института, где преподавал в течение 30 лет. Слава его лекций, всегда Главная редакция - страница 7 кропотливо приготовленных, все росла; приемущественно благодаря этим лекциям идеи Вейерштрасса стали общим достоянием математиков.

За время работы в гимназии Вейерштрасс написал несколько статей о гиперболических интегралах, абелевы функциях и алгебраических дифференциальных уравнениях. Более всего Главная редакция - страница 7 понятно его обоснование теории функций всеохватывающего переменного при помощи степенных рядов. В неком смысле это было возвращение к Лагранжу, с тем различием, что Вейерштрасс оперировал в всеохватывающей плоскости и полностью строго Главная редакция - страница 7. Значения степенного ряда снутри его круга сходимости представляют «элемент функции», а потом, если это может быть, осуществляется расширение при помощи так называемоеаналитического продолжения. Вейерштрасс особо изучал целые функции и функции, определенные Главная редакция - страница 7 нескончаемыми произведениями. Его эллиптическая функция (и) настолько


!)Courant R. Bemhard Riemann und die Mathematik der letzten hundert Jahre / Naturwissenschaften.—1926.— Bd 14.— S, 813-818.


ж


Карл Вейерштрасс

(1815—1897)
е укоренилась, как и поболее ранешние функции sn и Главная редакция - страница 7, сп и, dn и Якоби.

Собственной славой Вейерштрасс должен исключительной тщательности рассуждений, «вейерштрассовой строгости», что проявилось не только лишь в его теории функций, да и в его вариационном исчислении, Он разъяснил понятия минимума Главная редакция - страница 7, функции, производной, и таким макаром он избавил те неясности выражений, которые оставались в формулировке главных понятий анализа. Он был воплощением математической скрупулезности как методологически, так и логически. Другой пример скрупулезности его рассуждений Главная редакция - страница 7 дает нам его открытие равномерной сходимости. С Вейерштрасса начинается то сведение принципов математического анализа к простым арифметическим понятиям, которое мы называем арифметизациеи арифметики.

«В основном это награда научной деятельности Вейерштрасса, что сейчас Главная редакция - страница 7 в анализе есть полное согласие и уверенность относительно таких методов рассуждения, которые основаны на понятии иррационального числа и предела вообщем, и ему мы должны тем, что существует единодушное относительно всех результатов, даже в Главная редакция - страница 7 более сложных вопросах, касающихся теории дифференциальных и интегральных уравнений,— невзирая на самые дерзновенные и различные сочетания при применении наложения, композиции и перестановки пределов»1).

15. Эта арифметизация свойственна для так именуемой Берлинской школы и, а Главная редакция - страница 7 именно, для деятельности Леопольда Кронекера. К этой школе принадлежали та


') H i 1 b e r t D. Uber das Unendliche / Math. Ann.— 1926.— Bd 95.—S. 161. На российском языке см. в книжке: Гильберт Д. Основания Главная редакция - страница 7 геометрии.— М.; Л.: Гостехиздат, 1948, Добавление VIII, О нескончаемом, с. 338, 339.

кие выдающиеся, плодотворные в области алгебры и теории алгебраических чисел арифметики, как Кронекер, Куммер и Фробениус. К ним мы можем присоединить Дедекинда Главная редакция - страница 7 и Кантора. Эрнст Куммер был приглашен в Берлин в 1855г., чтоб поменять Дирихле. Он преподавал там до 1883г., когда сам решил закончить математическую деятельность, потому что ощутил, что eго творческая продуктивность падает Главная редакция - страница 7. Куммер развивал дифференциальную геометрию конгруэнции, рисунок которой отдал Гамильтон, и при этих исследовательских работах он открыл поверхность 4-ого порядка с шестнадцатью угловыми точками, нареченную его именованием. Славу ему сделало сначала то, что Главная редакция - страница 7 он ввел безупречные числа в теорию алгебраических областей рациональности (1846г.). Эта теория была сотворена частично в связи с попытками Куммера обосновать величавую аксиому Ферма, частично в связи с теорией Гаусса биквадратичных вычетов, в Главная редакция - страница 7 какой понятие обычных множителей перенесено в область всеохватывающих чисел. Безупречные множители Куммера дают возможность единственным образом разлагать числа на обыкновенные множители в общей области рациональности. Это открытие сделало вероятным существенное продвижение в Главная редакция - страница 7 математике алгебраических чисел; приобретенные тут результаты профессионально резюмированы в отчете Давида Гильберта, представленном германскому Математическому обществу в 1897 г. Теория Дедекинда и Вебера, в какой устанавливается зависимость меж теорией алгебраических функций Главная редакция - страница 7 и теорией алгебраических чисел в некой области рациональности (1882 г.) — пример воздействия теории Куммера на процесс арифметизацпи арифметики.

Леопольд Кронекер, человек богатый, поселился в Берлине в 1855 г., и там он в течение многих лет Главная редакция - страница 7 преподавал в институте, не занимая формально профессорской кафедры, которую он принял только после отставки Куммера в 1883 г. Главные результаты Кронекера относятся к теории эллиптических функций, к теории эталонов и к Главная редакция - страница 7 математике квадратичных форм. Размещенные его лекции по теории чисел содержат тщательное изложение его собственных и поболее ранешних открытий; в их ясно видна его уверенность в необходимости арифметизации арифметики. В базе этой убежденности Главная редакция - страница 7 было рвение к строгости: Кронекер считал, что основой арифметики должно быть число, а основой всех чисел — натуральное число. К примеру, число  нужно определять

не обыденным геометрическим методом, а рядом 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + ..., другими словами в виде композиции целых Главная редакция - страница 7 чисел; для той же цели могут служить некие непрерывные дроби для . Рвение Кронекера вложить все математическое в рамки теории чисел указывает отлично известное его заявление на съезде в Берлине в Главная редакция - страница 7 1886 г.: «Целые числа сотворил господь бог, а все прочее — дело человеческих рук». Он допускал только такое определение математического понятия, для которого требовалось только конечное число шагов. Таким макаром он преодолевал трудности животрепещуще нескончаемого, отказываясь Главная редакция - страница 7 принимать это понятие. В школе Кронекера девиз Платона, что бог всегда «геометризует», был заменен девизом, что бог всегда «арифметизирует».

Учение Кронекера об животрепещущей бесконечности резко противоречило теориям Дедекинда и Кантора. Рихард Главная редакция - страница 7 Дедекинд, в течение 30 1-го года состоявший доктором Высшей технической школы в Брауншвейге, выстроил строгую теорию иррационального числа. В 2-ух маленьких книгах, «Непрерывность и иррациональные числа» (Stetigkeit und irrationale Zahleu, 1872 г.) и Главная редакция - страница 7 «Что такое числа и зачем они служат» (Was sind und was sollen die Zahlen, 1882 г.) он сделал для современной арифметики то, что сделал Евдокс для греческой. Существует огромное сходство меж дедекиндовым сечением, при помощи которого Главная редакция - страница 7 современные арифметики (исключая школу Кронекера) определяют иррациональные числа, и древней теорией Евдокса, как она изложена в пятой книжке «Начал» Евклида. Кантор и Вейерштрасс дали арифметическое определение иррационального числа, несколько Главная редакция - страница 7 отличающееся от теориии Дедекинда, но основанное на схожих соображениях.

Но в очах Кронекера наибольшим еретиком был Георг Кантор. Кантор, который преподавал в Галле с 1869 по 1905г., известен не только лишь благодаря его Главная редакция - страница 7 теории иррационального числа, да и благодаря его теории множеств. Этой теорией Кантор сделал совсем новейшую область математических исследовательских работ, которая удовлетворяет самым жестоким требованиям к строгости, если только принять ее начальные посылки Главная редакция - страница 7. Публикации Кантора начались в 1870г. и длилось ряд лет; в 1883 г. он напечатал свои «Основы общего учения о многообразиях» (Grundlagen einer allgememen Maimigfaltigkeit-

slehre). В этих работах Кантор выстроил теорию трансфинитных кардинальных чисел, основанную Главная редакция - страница 7 на периодическом использовании математически животрепещущей бесконечности. Низшее кардинальное число 0 он при писал счетному огромному количеству, континууму он приписал более высочайшее трансфинитное число, и это отдало возможность сделать математику трансфинитных чисел, схожую обыкновенной Главная редакция - страница 7 математике. Кантор так же отдал определение порядковых трансфинитных чисел, показывающих, как упорядочены нескончаемые огромного количества.

Э


Георг Кантор (1845—1918)
ти открытия Кантора были продолжением давнешних схоластических спекуляций относительно природы нескончаемого, и Кантор это отлично Главная редакция - страница 7 понимал. Он отстаивал полное признание животрепещущей бесконечности у святого Августина, но сам был должен защищаться против вощражений многих математиков, которые отрешались принять нескончаемое по другому, как процесс, выражаемый значком . Основным оппонентом Главная редакция - страница 7 Кантора был Кронекер – представитель совсем обратного направления в том же процессе арифметизации арифметики. Кантор в конце концов достигнул полного признания тогда, когда все более естественным становилось большущее значение его теории для Главная редакция - страница 7 обоснования теории реальных функций и топологии, – в особенности после того, как Лебег в 1901г. обогатил теорию множеств собственной теорией меры. Но оставались логические трудности теории трансфинитных чисел и были выявлены парадоксы Главная редакция - страница 7, как, к примеру, феномен Бурали-Форти и Рассела. Это снова повело к появлению разных школ в области обоснования арифметики. Расхождения меж формалистами и интуитивистами двадцатого века были продолжением на новеньком уровне спора Главная редакция - страница 7 меж Кантором и Кронекером



glavnie-normalnie-napryazheniya-i-glavnie-napravleniya.html
glavnie-novosti-sporta-v-ingushetii-poyavitsya-samij-bolshoj-sportkompleks-v-respublike-21-upominaniya-ministra-sporta.html
glavnie-osobennosti-iudejskoj-veri.html